Approches robustes pour représenter l'incertitude des impacts du changement climatique
Le projet ETEM-AR propose de développer une approche opérationnelle permettant de définir des stratégies robustes face à plusieurs sources d'incertitude, notamment l'incertitude de certains paramètres du modèle lui-même et l'incertitude des impacts dus aux changements climatiques. Dans le cadre de projet, nous proposons de mettre en œuvre différentes approches : programmation stochastique et optimisation robuste.
Principales sources d’incertitudes dans ETEM
Les incertitudes sont nombreuses dans les modèles mathématiques, encore plus dans les modèles prospectifs. Nous ne parlerons pas, ou peu, des incertitudes liées au choix du paradigme de l’optimisation (plutôt que de la simulation ou la théorie des jeux), ou inhérentes à la modélisation (restriction de la réalité), mais plutôt des incertitudes liées à la valeur des paramètres du problème, et des moments auxquels ces incertitudes sont levées.
Les principales sources d’incertitudes pour les paramètres du problème d’optimisation sont l’économie et le climat qui peuvent impacter les paramètres suivants :
- les demandes utiles (par exemple, différents taux de croissance économique, possibilité de plus de climatisation en cas d’augmentation de température),
- l’efficacité des technologies (par exemple, l’efficacité des procédés thermiques)
- les disponibilités des technologies (par exemple, disponibilité réduite des centrales en cas de fortes chaleurs)
- les prix des technologies (par exemple, incertitudes sur le prix futurs des technologies de production des énergies renouvelables)
- les prix des sources d’énergie (bois-énergie par exemple).
La programmation stochastique apparaît comme une approche naturelle pour modéliser différentes sources d’incertitudes dans ETEM. Elle consiste à prendre en compte simultanément plusieurs scénarii de réalisation des paramètres incertains et de résoudre le problème sur l’ensemble de ces scénarii. La solution est dites robuste vis-à-vis de ces scénarii car elle satisfait l’ensemble des contraintes quelque soit la réalisation de l’incertitude et ceci pour une performance économique raisonnable. La figure ci-contre donne une illustration (Babonneau et al. 2012) de la programmation stochastique avec quatre scénarii représentant les incertitudes liées à l’évolution du prix de l’électricité et à la pénétration des voitures électriques. On parle d’arbre d’événements.
Une des difficultés principales de cette approche réside dans sa mise œuvre. En effet, pour des modèles de grande taille avec une base donnée abondante, les modifications à apporter au modèle déterministe peuvent être très nombreuses et relativement lourdes. La solution est alors de faire appel à un code de génération automatique de modèles stochastiques. Dans le cadre de ce projet, nous adaptons le code ETEM afin de le rendre compatible avec le programme Det2Sto (Thénié et al. 2007). Det2Sto utilise le modèle déterministe ETEM et une description minimaliste des incertitudes pour générer automatiquement le modèle stochastique.
Nous sommes donc en mesure de pouvoir utiliser la programmation stochastique comme solution à la prise en compte de l’incertitude.
Nous proposons une approche basée sur les techniques de l’optimisation robuste (Ben-Tal et al. 2009) mise en œuvre pour la prise en compte des incertitudes liées à la disponibilité des technologiques futures. Nous avons implémenté cette approche sur un jeu de données réduit et les résultats numériques préliminaires viennent confirmer les résultats obtenus dans (Babonneau et al. 2012). Dans cet article, l’optimisation robuste est utilisée dans le modèle énergétique TIAM afin de représenter les aléas sur les approvisionnements énergétiques en l’Europe. Les solutions obtenues en terme d’évolution du système énergétique aboutissent ainsi à assurer une plus grande sécurité énergétique en Europe, et ce, pour un coût très raisonnable. Les auteurs montrent également que même sur un modèle de départ de grande taille, l’optimisation robuste ne conduit pas à un modèle « robuste » numériquement intraitable.
Par la suite, nous décrivons les détails techniques de cette implémentation relative aux disponibilités des technologiques futures. Nous attirons l’attention du lecteur sur le fait que cette approche pourrait être étendue à d’autres sources d’incertitude. Nous présentons ici une solution technique à la prise en compte de l’incertitude. Nous étudierons et évaluerons ces possibilités d’extension dans la suite du projet ETEM-AR.
Nous supposons désormais les facteurs de disponibilité des technologies avail_factor comme incertains. Ces facteurs apparaissent dans ETEM dans les contraintes de capacités EQ_CAPAC. Pour une technologie p, une période de temps t et une timeslices s, on a :
sum{c} VAR_COM[t,s,p,c] < avail_factor[t,s,p] * CAP[t,p]
Dans cette expression, l’indice c représente les commodités et les variables de décision VAR_COM et CAP représentent respectivement l’activité et la capacité de la technologie p. Le facteur de disponibilité avail_factor est défini dans l’intervalle [0,1]. Afin de simplifier les écritures ci-après, nous omettons les indices t et s par la suite. Ainsi, pour une technologie p, la contrainte de capacité s’écrit
sum{c} VAR_COM[p,c] < avail_factor[p] * CAP[p]
L’approche proposée ne consiste pas à robustifier chaque contrainte de capacité (une par technologie incertaine) individuellement. Elle considère au contraire l’ensemble des technologies incertaines simultanément dans la définition des stratégies robustes. L’objectif est donc de permettre au système énergétique de satisfaire les demandes futures de manière globale. Peu importe ce qui se passera individuellement pour chaque technologie.
Afin d’implémenter cette approche, nous avons donc créé et introduit dans le modèle ETEM, pour chaque période de temps et chaque timeslice, une nouvelle contrainte qui est la somme des contraintes individuelles incertaines.
sum{c,p} VAR_COM}[p,c] < sum{p} avail_factor[p] * cap[p]. (1)
Cette nouvelle contrainte concerne donc la capacité totale dans le système énergétique pour les technologies dites incertaines. Nous proposons par la suite de robustifier ces nouvelles contraintes.
Avant d’appliquer les techniques de l’optimisation robuste, il nous faut définir un modèle d’incertitude pour les facteurs de disponibilité. Nous posons :
avail_factor[p] = 1 - f[p] xi[p],
où, pour chaque technologie p, 0< f[p]<1 est la défiance maximum pour le facteur de disponibilité et xi[p] est une variable aléatoire indépendante dans l’intervalle [0,1]. Ainsi, [1-f[p] ,1] donne l’intervalle de variation pour le facteur de disponibilité. La contrainte (1), s’écrit alors
sum{c,p} VAR_COM[p,c] < sum{p} (1 - f[p] xi[p])* CAP[p].
Ceci est équivalent à
sum{c,p} (VAR_COM}[p,c] - CAP[p]) + sum{p} (f[p] xi[p]* CAP[p]) < 0. (2)
La première somme dans la contrainte (2) est une expression linéaire déterministe, tandis que la seconde est aléatoire. L’approche robuste dans (Ben-Tal et al. 2009) consiste alors à remplacer la partie aléatoire de la contrainte (2) par un équivalent robuste. Sous certaines hypothèses, l’équivalent robuste contient (n+1) variables additionnelles et 2n contraintes linéaires additionnelles, où n représente le nombre de technologies incertaines dans la contrainte. Le code GMPL spécifique à l’optimisation robuste est reproduit ci-contre.
- F. Babonneau, A. Haurie and J. Thénié, Assessing the Future of Smart Grid Technologies in Regional Energy Systems, Swiss Journal of Economics and Statistics, 2012, to appear.
- F. Babonneau, A. Kanudia, M. Labriet, R. Loulou and J.-P. Vial, Energy Security: a Robust Programming Approach and Application to European Energy Supply via TIAM, Environmental Modeling and Assessment, 17(1), p19-37, 2012.
- F. Babonneau, J.-P. Vial, and R. Apparigliato. Robust optimization for environmental and energy planning. In J.A. Filar and A. Haurie, editors, Handbook on "Uncertainty and Environmental Decision Making", International Series in Operations Research and Management Science, pages 79-126. Springer Verlag, 2010.
- Ben-Tal, A., L. El Ghaoui, and A. Nemirovski. Robust Optimization. Princeton University Press, 2009.
- Thénié, J., J.-Ph. Vial, Ch. van Delft, Automatic formulation of stochastic programs via an algebraic modeling language, Computational Management Science, 4(1), p.17-40, 2007.
